Seminario di Analisi a.a 2009/10

Two-mirror and two-lens devices converting an incident plane wave of a given cross section and intensity distribution into an output plane wave irradiating at a given target set with prescribed intensity are required in many applications. Most of the known designs are restricted to rotationally symmetric lenses. In this talk I will discuss designs with freeform lenses, that is, without a priori assumption of rotational symmetry. Assuming the geometrical optics approximation, it is shown that the functions describing such freeform lenses satisfy Monge-Ampère type partial differential equations (PDE's) derived from the basic laws of geometrical optics. These equations are quite complicated. Fortunately, the above design problems can also be formulated in weak form as problems in calculus of variations in which instead of solving the nonlinear PDE's one needs to find extrema of some Fermat-like functionals taking the role of cost functions in optimal mass transport. This approach was successfully applied in single and two-surface mirror/lens problems. I will describe some of these ideas and results.

We study the blow-up time and the location of the blow-up set of the solution for a semilinear heat equation with large diffusive coefficient. In particular, we prove that, if the diffusive coefficient is sufficiently large, then the location of the blow-up set depends on the large time behavior of the hot spots of the solutions for the heat equation. This is a joint work with Yohei Fujishima.

In this talk, we are concerned with the asymptotic behavior of solutions for semilinear parabolic equations involving critical Sobolev exponent. In the subcritical case, it is known that every global-in-time solution is globally bounded in $L^\infty$. On the other hand, it is known that there exists an unbounded global solution in th critical case. In this talk, we discuss the asymptotic profile of such an unbounded global solutions under the assumption of radial symmetry.

The purpose of this talk is to describe a variational approach to the problem of A.D. Aleksandrov concerning existence and uniqueness of a closed convex hypersurface in Euclidean space R^{n+1}, n >=2 with prescribed integral Gauss curvature given as a Borel measure on a unit sphere S^n. It is shown that this problem in variational formulation is closely connected with the problem of optimal mass transport on S^n.

We investigate the preservation of convexity of the free boundary by the solutions of the porous medium equation. We prove that starting with an initial datum sharing some kind of sub-optimal $\alpha$-conc avity property, the convexity of the positivity set can be lost in a short time. This is a joint work with Paolo Salani.

A general formulation of the classical Steiner (or minimal connection) problem is considered, and topological regularity results for solutions of this problem are presented. Further, conditions on existence of minimizers are provided. Although the results are applicable for general metric space setting, most of them are new even in classical Euclidean setting.

Nell'integrazione numerica di sistemi hamiltoniani, la corretta preservazione delle costanti del moto, tra cui l'hamiltoniana stessa, non e' mai soddisfatta, se non per il caso particolare di hamiltoniane quadratiche (e non per tutti i metodi numerici). A conferma di questo, spesso si osserva un "drift" numerico dell'hamiltoniana, che sta' ad indicare che si perde o si acquista artificiosamente energia. Questo comporta grossi inconvenienti nella simulazione di sistemi hamiltoniani su grandi intervalli temporali. Di recente, e' stata proposta una nuova classe di metodi numerici, denominata "Hamiltonian BVMs (HBVMs)" in grado di preservare, per la soluzione discreta fornita dal metodo, il corretto valore della funzione hamiltoniana. Questo consente di preservare, indipendentemente dal passo di integrazione temporale utilizzato, il corretto comportamento qualitativo delle traiettorie. Inoltre, in tale classe di metodi, e' possibile definire HBVMs di ordine arbitrariamente elevato, che si prestano, inoltre, ad una efficiente implementazione. In questo talk, verra' illustrata la problematica e le idee che hanno permesso di derivare la nuova classe di metodi. Saranno altresi' forniti alcuni esempi applicativi, a conferma dei risultati teorici dimostrati per gli HBVMs.

We consider general integral functionals on the Sobolev spaces of multiple valued functions, introduced by Almgren. We characterize the semicontinuous ones and recover earlier results of Mattila as a particular case.

Si studia l'esistenza di soluzioni periodiche di un'equazione del tipo x'(t) = f(t,x_t) dove f &egrave un campo vettoriale su una variet&agrave differenziabile immersa in uno spazio euclideo. (Nella notazione precedente, data una funzione g, il simbolo g_t rappresenta la funzione da s a g(s+t).) Si accenner&agrave anche a problemi di biforcazione per l'equazione precedente e all'esistenza di soluzioni periodiche nel caso di equazioni del secondo ordine su variet&agrave. Il problema &egrave affrontato usando la teoria dell'indice di punto fisso.

Verranno presentate alcune caratteristiche tipiche dei sistemi iperbolici di leggi di conservazione ed alcune tecniche che, recentemente, hanno avuto successo nel trattare queste equazioni alle derivate parziali. I risultati analitici cos&igrave ottenuti hanno permesso di affrontare diversi problemi posti da applicazioni concrete. Saranno quindi considerati modelli e problemi di controllo relativi alla dinamica dei gas, al traffico veicolare ed alla dinamica di grandi gruppi di pedoni.

Si presenteranno dei risultati di esistenza delle soluzioni per certi sistemi di equazioni differenziali nonlineari, dove le nonlinearit&agrave cambiano segno. In particolare si studiano dei sistemi dove le equazioni sono del tipo di equazioni di Hill.

Consideriamo il problema variazionale che consiste nel minimizzare la compliance di una quantit&agrave fissata di materiale elastico isotropo distribuito in un'assegnata regione di design, e sottoposto a un carico di forze assegnato. Nel seminario verr&agrave discussa l'analisi asintotica di questo problema quando la regione di design &egrave un cilindro di altezza infinitesima (caso delle piastre sottili) oppure un cilindro di area infinitesima (caso delle sbarre sottili). I risultati presentati sono contenuti in alcuni recenti lavori con Guy Bouchitt&eacute e Pierre Seppecher.

In questo seminario mi propongo di descrivere un metodo per la ricostruzione di piccole perturbazioni di interfacce di inclusioni conduttrici e di inclusioni elastiche da misure spettrali.

Abstract

Abstract

Consideriamo un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico in forma di divergenza. Il controesempio di De Giorgi ci mostra che, in generale, le soluzioni possono essere illimitate all'interno del dominio pur essendo limitate sul bordo dello stesso. Si cercano condizioni di struttura sul sistema affinch&eacute la limitatezza sul bordo implichi la limitatezza all'interno per le soluzioni. Si mostrer&agrave una tale condizione ed alcuni esempi.

Given a bounded Lipschitz domain, we consider the Dirichlet problem with boundary data in Besov spaces for divergence form strongly elliptic systems of arbitrary order with bounded complex-valued coefficients. The main result gives a sharp condition on the local mean oscillation of the coefficients of the differential operator and the unit normal to the boundary (automatically satisfied if these functions belong to the space VMO) which guarantee that the solution operator associated with this problem is an isomorphism.

Mixed boundary value problems for the Navier-Stokes system in a three-dimensional polyhedral domain are considered. Different boundary conditions ( Dirichlet, Neumann and others ) are prescribed on the faces of a polyhedron. Regularity results for weak solutions in weighted (and non-weighted) L_p Sobolev and Holder spaces are discussed. The proofs are based on sharp pointwise estimates for Green's tensors of the Stokes system involving edge and vertex singularities. Applications to the boundary value problem on a viscous fluid with a free surface, placed in a faceted vessel are given.

Abstract

Il seminario espone i risultati conenuti in un lavoro in collaborazione con Luciana Angiuli (Universit&agrave del Salento) e Umberto Massari (Universit&agrave di Ferrara), lavoro in fase di elaborazione. Seguendo un approccio suggerito da Ledoux in un lavoro del '94, si pu&ograve dare una caratterizzazione del perimetro di un insieme equivalente alla definizione originaria data da De Giorgi nel '54; tale studio &egrave stato affrontato nel lavoro in collaborazione con Diego Pallara (Salento), Fabio Paronetto (Padova) e Marc Preunkert (Tuebingen), '07. Tale caratterizzazione &egrave nello spirito molto simile alla definizione di contenuto di Minkowski; scopo del seminario &egrave far vedere come il contenuto del calore, a differenza del contenuto di Minkowski, meglio si adatti alla geometria dell'insieme in considerazione.

We consider the isoperimetric problem with fixed volume inside a convex set in the Gauss space, in both the finite and infinite dimensional case, proving uniqueness and convexity of minimizers. In the finite dimensional case we also show existence of a maximal convex Cheeger set.

The lecture will start with an overview of recent progress on the estimation of the Poincaré constant of log-concave probability measures. Then we will present a streamlined proof and a slight extension of Klartag's theorem for convex sets which are symmetric with respect to all coordinate hyperplanes (joint work with D. Cordero).

In questi ultimi anni, in collaborazione con E. Di Benedetto ed U. Gianazza, abbiamo studiato le stime di Harnack per equazioni paraboliche/singolari di tipo p-Laplaciano. Al fine di estendere le stime di Moser al caso quasilineare abbiamo utilizzato come strumento le classi di DeGiorgi. In questo talk si parla della possibilit&agrave di utilizzare il nuovo approccio ottenuto, non solo per provare stime di Harnack ma anche per provare la regolarit&agrave delle soluzioni.

Si tratter&agrave dell'unicit&agrave del prolungamento per equazioni ellittiche in due variabili in forma completa anche non autaggiunte e di alcuni problemi collegati.

The Phase Retrieval Problem of Fourier analysis involves determining a function from the modulus of its Fourier transform. The problem arises frequently and naturally in various areas of science, such as X-ray crystallography, electron microscopy, optics, and astronomy, in which only the magnitude of the Fourier transform can be measured and the phase is lost. It is a fundamentally under-determined problem without additional constraints. One such constraint is that the function is the characteristic function of a convex body. In this setting one would like to construct an approximation to the characteristic function (or, equivalently, to the convex body) from a finite number of noisy measurements of the modulus of the Fourier transform of the characteristic function. In this talk, I will explain how this can be done, giving in outline a complete theoretical solution to the problem. The main idea is to utilize a connection to a closely related problem, that of retrieving a convex body from a finite number of noisy measurements of its covariogram. The covariogram of a convex body gives the volumes of the intersections of a set with its translates. The work was done jointly with Gabriele Bianchi (Florence) and Markus Kiderlen (Aarhus, Denmark). If time allows, some demonstrations will be made of computer programs written by Western undergraduate students funded by the NSF.