Seminario di Analisi - autunno 2010

Abstract

Abstract: in questo seminario si ricorderanno alcune ben note disuguaglianze isoperimetriche relative agli autovalori dell'operatore di Laplace, sia nel caso di dato al bordo di tipo Dirichlet che di tipo Neumann. Si mostrera' come esse possano essere migliorate, rendendole quantitative: in particolare, si mostrera' la possibilita' di stimare la vicinanza (in un qualche senso) di un oggetto all'insieme isoperimetrico, in termini della vicinanza del relativo autovalore. Alcuni dei risultati quivi presentati fanno parte di un lavoro in collaborazione con Aldo Pratelli (Pavia).

Abstract: Nel 1978, De Giorgi chiese se le soluzioni limitate e monotone dell'equazione di Allen-Cahn dipendessero da una sola variabile euclidea - almeno in dimensione minore o uguale a otto. Discuteremo dello stato dell'arte di questo problema e di recenti sviluppi in problemi collegati.

Recentemente nello studio di fenomeni legati alle transizioni di fase è emerso l'interesse per la definizione di funzionali di tipo perimetro non locali. Lo scopo del seminario è presentare alcuni recenti risultati ed in particolare mostrare un risultato di Gamma convergenza al perimetro "classico".

Abstract: For second order semilinear equations of mixed elliptic-hyperbolic type on bounded domains in the plane, we will present some recent progress on the question of existence/nonexistence of non trivial weak solutions that satisfy a homogeneous boundary condition of Dirichlet type on all or part of the boundary. In particular, a better undrstanding of what consitutes critical growth for such problems will be discussed. The results to be presented are part of an ongoing collaboration with Daniela Lupo (Politecnico di Milano), Dario Monticelli (universita' di Milano) and Nedyu Popivanov (University of Sofia).

We derive the sharp constants for the inequalities on the Heisenberg group H^n whose analogues on Euclidean space R^n are the well known Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities. Only one special case had been known previously, due to Jerison-Lee more than twenty years ago. From these inequalities we obtain the sharp constants for their duals, which are the Sobolev inequalities for the Laplacian and conformally invariant fractional Laplacians. By considering limiting cases of these inequalities sharp constants for the analogues of the Onofri and log-Sobolev inequalities on H^n are obtained. The methodology is completely different from that used to obtain the R^n inequalities and can be used to give a new, rearrangement free, proof of the HLS inequalities.

Abstract: We propose a variational approach to quantitative isoperimetry. Our method is based on a penalization argument and on the regularity theory for quasiminimizers of the perimeter. Two remarkable applications of the method will be presented: first, a new proof of the quantitative isoperimetric inequality in R^n; second, the proof of a conjecture posed by Hall in 1992.

Abstract: Proporremo una versione "quasi uniforme" del principio di antimassimo, ottenuta recentemente con Genni Fragnelli, mostrandone alcune applicazioni.

Abstract: We prove a long standing conjecture concerning the fencing problem in the plane: among planar convex sets of given area, prove that the disc, and only the disc maximizes the length of the shortest area-bisecting curve. Although it may look intuitive, the result is by no means trivial since we also prove that among planar convex sets of given area the set which maximizes the length of the shortest bisecting chords is the so-called Auerbach triangle.

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Abstract: In questo seminario mi propongo di presentare lo sviluppo e i progressi recenti della teoria del controllo ottimale con funzionali quadratici per sistemi che descrivono problemi al contorno e ai valori iniziali per Equazioni a Derivate Parziali (EDP) con controllo sulla frontiera o puntuale. Di specifico interesse sono sistemi di EDP accoppiate di tipo diverso quali sistemi termoelastici, sistemi che descrivono interazioni tra onde acustiche e vibrazioni elastiche, modelli per le interazioni fluido-solido. Un avanzamento importante nello studio di tali problemi si e' avuto di recente con l'introduzione di una nuova formulazione astratta, capace di individuare proprieta' di regolarita' distintive della dinamica `ibrida' sufficienti a garantire la risolubilita' dei problemi di controllo ottimale associati, assieme alla buona positura delle equazioni di Riccati corrispondenti, ove invece le teorie classiche falliscono. Il ruolo speculare ma centrale della regolarita' delle tracce delle soluzioni del sistema di EDP "libero" (cioe' in assenza di controllo) verra' discusso ed illustrato.

Abstract: In this talk we address some geometric optimization problems with convexity constraints. We are specially interested in problems whose solutions are singular, i.e. polygons. We will give an approach to study such questions, which is general for a wide class of problems, at least in two dimensions. We will illustrate this approach on several examples, including a geometric problem related to the reverse isoperimetric inequality and also the Mahler conjecture.